Activity report

 October 2015-December 2016 :

Oct.2015-Dec.2015 The team concentrated on three main research themes:

 

  1. Numerical experiments which compute Atkin-Lehner operator on the space of period polynomials for Γ0(p), where p is a prime number. In this context we organized a series of meetings with the participation of Senior researcher Alexandru Popa and Post-Doctoral researcher Radu Gaba to clarify the necessary notions needed to be able to do the above mentioned experimental research. The Atkin-Lehner operators are very well understood acting on the spaces of modular forms and also their theoretical transport on the spaces of period polynomials as described in the article of the PI  togheter with Alexandru Popa published in Proceedings of London Mathematical Society. On the other hand intrinsic properties of the matrices describing those operators allow us to make numerical computations which can lead to the understanding of congruence-type properties that exist at the level of period polynomials.  We wrote some of the Magma and Sage codes needed for the numerical computations.
  2. The computation of a data base for mod N Galois representations associated to semistable elliptic curves of conductor N. We organized meetings for the purpose of accomodating all the members of the team with the language specific to the Galois representations, rational elliptic curves, and Tate representations. In the same time we elaborated a strategy to develop the sage/magma codes needed to obtain the data-base. Also, we extended the colaboration with Prof. Adrian Diaconu from Univ. of Minessota for the study of Galois representation attached to hyperelliptic case (a generalisation of the elliptic case), obtainning good results, expected to be disseminated shortly.
  3. A proof of a generalization of the Von Staudt-Clausen theorem which will guaranty the fact that, indeed the period polynomials sit in p-adic families. We considered the possibility of interpolating classical period polynomials in p-adic families. Indeed, once we develop the dictionary we created in this period of time between the period polynomials and modular symbols, we can affirm the interpolation property. In particular congruence properties can be also deduced from this context. Our goal is to extend the notion of overconvergent modular symbols in order to extend the above mentioned dictionary to the extended space of period polynomials.

Jan.2016-Dec.2016

1. Obtainning families of p-adic L-function/p-adic distributions in families over a level compatible tower. In this context, we organized a series of meetings where the members of the team consolidated and defined the concepts of p-adic distributions such that the new concepts of overconvergent modular symbols with poles over the weght space which at the classical points project to classical extend polynomials. Such definitions have to be compatible with the Hecke operators action.

We organized two international conferences and we participated to various international conferences. In this way, we succeded to atract in this subject the interes of several internationally recognized mathematicians (e.g. Don Zagier- MPIM, Alexandru Zaharescu-UIUC). These collaborations led to important results obtained by our team members and they will be disseminated in highly appreciated journals. Those collaborations and hopefuly new ones will help to improve the efort of our team towards the goals of this project.

  1. Numerical computation of the expansion of cuspidal forms associated to semistable rational elliptic curves in terms of products of weight 1 Eisenstein series. In the case the elliptic curve has analityc rank 0, those computations are based on classical Rankin-Selberg method. We made various observations regarding the coefficients of these expansions. In this study the two Ph.D. students Laura Nastasescu and Cosmin-Constantin Nitu have been involved.
  2. Description of the space of period polynomials corresponding to Eisenstein series for congruence subgroups of prime level. In this context, we organize a series of meetings with the participation of the PI, senior researcher Alexandru Popa and Post-doc researcher Radu Gaba. Remarkably, new important results have been obtained regarding Ramanujan-type congruences between cusp forms and Eisenstein series. Those results are diseminated in an artcle sent for publication.

 

Raport de activitate

 Octombrie 2015-Septembrie 2017 :

Oct.2015-Dec.2015 Echipa pe care o coordonez s-a concentrat asupra a trei teme de cercetare asa cum a fost mentionat in proiectul de realizare a proiectului. In cele ce urmeaza, voi detalia activitatile efectuate de echipa.

  1. Efectuarea experimentelor numerice care calculeaza operatorul Atkin-Lehner pe spatiul de perioade ale lui Γ0(p).
    In acest context, s-au efectuat o serie de intalniri intre directorul de proiect, cercetatorul senior Alexandru Popa si cercetatorul post-doctoral Radu Gaba pentru a clarifica notiunile care sunt necesare pentru efectuarea unor experimente legate de actiunea operatorilor Atkin-Lehner pe spatiile de perioade atasate grupului modular Γ0(p), unde p este un numar prim. Acesti operatori sunt bine intelesi pe spatiile de forme modulare si de asemenea transferul lor teoretic pe spatiile de polinoame de perioade a fost descris in articolul DP impreuna cu Alexandru Popa publicat in Proceedings of London Mathematical Society. Pe de alta parte proprietatile intrinseci ale matri- cilor care descriu acesti operatori permit efectuarea unor experimente care sa duca la intelegerea unor relatii de tip congruente care exista la nivel de perioade de polinoame. S-a inceput scrierea unor coduri in Magma si Sage pentru efectuarea acestor experimente.

  2. Calcularea unei baze de date pentru reprezentari Galois mod N asociate curbelor eliptice semista- bile de conductor N
    S-au efectuat diverse intalniri pentru acomodarea cu limbajul specific reprezentarilor Galois pre- cum si a curbelor rationale, reprezentari Tate. In acelasi timp s-a discutat si o strategie pentru a incepe programarea in limbajele sage/magma pentru obtinerea unor baze de date. In acelasi timp, s-a extins conlucrarea cu Prof. Adrian Diaconu de la Univ. Minessota in vederea studiului reprezentarilor Galois atasate curbelor hyperelliptice (in particular a celor eliptice) obtinandu-se rezultate importante preconizand trimiterea spre publicare a unui articol pana la sfarsitul etapei.

  3. Demonstrarea generalizarii teoremei lui Von Staudt-Clausen ce garanteaza faptul ca polinoamele de perioade stau in familii p-adice
    S-au efectuat studii cu privire la posibilitatea situarii polinoamelor de perioade clasice in familii p-adice. Intr-adevar, folosind dictionarul care a fost pus la punct in aceasta perioada dintre perioadele de polinoame si simboluri modulare, putem afirma ca acest lucru se intampla. In particular, teoreme de congruente de tip Von Staudt-Clausen sunt prezente si deductibile in acest context. Urmarim extinderea notiunii de simboluri modulare supra-convergente pentru a extinde dictionarul mai sus amintit si pentru polinoamele de perioade generalizate asa cum sunt descrise in articolul mai sus mentionat.

Ian.2016-Dec.2016 In aceasta etapa, echipa pe care o coordonez s-a concentrat asupra a trei teme de cercetare asa cum a fost mentionat in proiectul de realizare a proiectului.

1. Obtinerea de familii de L-functii p-adice/distributii p-adice prin varierea nivelului in spatiile de polinoame de perioade
In acest context, s-au organizat o serie de ıntalniri prin care membrii echipei au consolidat ̧si definitivat ınlargirea conceptelor de distributii p-adice astfel ıncat noile concepte de simboluri modulare cu poli care corespund in mod clasic la forme modulare (inclusiv serii Eisenstein) sa aiba analog p-adic ia rdefinirea acestora sa fie ınconcordanta cu operatorii Hecke. Prin organizarea celor doua conferinte precum si participarea la diverse conferinte internationale, membrii echipei au reusit sa atraga in acest proiect cercetatori cu ınalta recunoastere internationala (Don Zagier- MPIM, Alexandru Zaharescu-UIUC). Aceste colaborari au condus la obtinerea unor rezultate importante, fiind submise doua articole (unul deja acceptat). Aceaste colaborari vor continua si ın anul urmator fiind preconizate alte rezultate in acest domeniu.

  1. Calcularea unei baze de date a coeficien ̧tilor expansiunilor formelor cuspidale asociate curbelor eliptice rationale semistabile ın functie de produse de doua serii Eisenstein de pondere 1
    S-au efectuat diverse calcule pentru structurarea acesti baze de date.
    In cazul in care curba eliptica are rangul 0, aceste calcule se bazeaza pe metoda clasica Rankin-Selberg. S-au facut diverse observatii cu privire la distributia coeficientilor corespunzatori. In acest studiu au fost implicati si cei doi cercetatori doctoranzi: Laura Nastasescu si Cosmin-Constantin Nitu. S-a creat si un catalog de functii de programare in magma prin care utilizatorii pot genera astfel de coeficienti.

  2. Descrierea spatiului de polinoame de perioade corespunzator seriilor Eisenstein pentru grupurile de congruenta de nivel prim
    In acest context, s-au efectuat o serie de intalniri intre directorul de proiect, cercetatorul senior Alexandru Popa si cercetatorul post-doctoral Radu Gaba. In mod remarcabil, s-a reusit obtinerea unor rezultate de o importanta deosebita privind congruente de tip Ramanujan intre forme Eisenstein si forme cuspidale de aceeasi pondere folosind descrierea explicita a spatiului de polinoame pentru seriile Eisenstein precum si interpretarea acestora coomologica. Rezultatele obtinute sunt continute intr-un articol trimis spre publicare.

 

Ian.2017-Sept.2017: In aceasta etapa, echipa pe care o coordonez s-a concentrat asupra a trei teme de cercetare a ̧sa cum a fost mentionat in proiectul de realizare a proiectului.

(1) Calcularea dimensiunilor spatiului de simboluri modulare extinse si concluzionarea teoremei de control.

 

In aceasta directie, echipa pe care o coordonez a realizat o serie de activitati, dupa cum urmeaza: In perioada 16-20 Ianuarie, DP a efectuat o vizita de cercetare la invitatia Prof. K. Bringhmann la Univ. Koln. S-au realizat o serie de conexiuni privind intelegerea formelor armonice Maas si a legaturii lor cu simbolurile modulare extinse. Exista o legatura bine inteleasa intre aceste forme armonice si formele modulare clasice. S-a dovedit ca aceste forme stau intr-adevar in familii p-adice. Pe de alta parte, operatorul theta al lui Serre trimite aceste forme (de pondere negativa) in forme modulare clasice de pondere pozitiva. Exact in acest caz, teorema de control al lui Stevens pentru cazul pantei critice nu da un izomorfism. Mai mult, se stie din articolele scrise de Andreatta, Pollack, Iovita ̧si Stevens ca spatiul simbolurilor modulare supraconvergente in acest caz are o dimensiune mai mare decat cel clasic. Posibilele simboluri modulare atasate acelor forme armonice Maas pot fi responsabile de acest lucru. Mai mult, Adrian Iovita (comunicare personala, preprint in lucru), poate arata cum se pot defini fibrate coerente peste suprafetele modulare ale caror sectiuni globale sunt reprezentate intocmai de aceste forme Maas si care in cazul p-adic coincid cu fibratul definit pe acel locus supraconvergent. Astfel, la nivel de forme modulare, intr-adev ̆ar teorema de control poate fi extins ̆a ˆın acest sens. Pe de alt ̆a parte, se ̧stie din lucr ̆arile lui Pollack si Stevens ca spatiul simbolurilor modulare supraconvergente in cazul critic este (ne canonic) izomorf cu spatiul formelor modulare supraconvergente. Astfel,ipoteza la care am lucrat este adevarata. Definirea si descrierea explicita a simbolurilor modulare pentru forme armonice Maas ar umple exact locul lipsa din intelegerea perfecta a acestui fenomen. Din pacate aceste definitii nu sunt evidente deoarece integralele Eichler (folosite pentru definirea simbolurilor modulare in cazul clasic) nu converg, iar diversele regularizari intens studiate de specialisti in domeniu nu se comporta bine in familii. Echipa a reusit sa formuleze impreuna cu echipa condusa de Prof. Bringhmann o serie de conjecturi care ar rezolva aceasta problema. Proiectul este inca deschis in acest sens, insa fezabil deoarece, asa cum am mentionat mai sus, extinderea teoremei de control la nivel de forme modulare este suficient de bine inteleasa.

(2)  Efectuarea unor calcule variate care vor releva legatura dintre cele doua baze de date construite anterior

 

In acest sens, echipa s-a concentrat pe o intelegere mai buna a familiilor de curbe si a reprezentarilor Galois atasate precum si compararea rezultatelor din literatura de speciali- tate cu bazele de date formulate. Astfel DP impreuna cu Prof. Adrian Diaconu au lucrat la intelegerea spatiilor de coomologie atasate curbelor hiperelliptice in familii. Un rezultat important in aceasta directie (continut in preprintul trimis spre publicare) este legatura care exista intre coomologia fibratului constant pe spatiul curbelor cu puncte marcate si coomologia diverselor sisteme locale. Pentru curbele de gen 0, aceasta legatura a fost facuta explicit de catre Getzler si Kapranov (intr-o forma echivalenta cu exprimarea noastra), insa cazul general este foarte greu de explicitat. In acest sens intelegerea sumelor de caractere in familii este foarte importanta si apare in mod natural atunci cand se twisteaza in familii (ele apar natural si in calculul numarului de puncte ale unei varietati aritmetice).

(3)  Relationarea spatiului de polinoame de perioade cu coomologia parabolica. Problema demonstrarii congruentelor se reduce la demonstrarea surjectivitatii prin reducerea mod p a coomologiei parabolice.

 

Acest obiectiv a fost realizat deja fiind parte a articolului scris de R. Gaba si A. Popa. Interpretarea coomologica a spatiului de perioade de polinoame a deschis calea unor noi idei si rezultate privind descrierea urmelor operatorilor Hecke pe spatiile de perioade de polinoame pentru grupuri de congruenta (vezi articolul On The Trace Formula For Hecke Operators On Congruence Subgroups acceptat in RMS)